內容提要：本文主要闡述了教師在教學過程中引導學生積極參與實踐活動，使學生提高學習興趣，加深對概念、性質的理解等，培養其能力，具體在實踐中培養探索能力；在實踐中鞏固反思能力；在實踐中發展思維能力；在實踐中提高創新能力。
 關鍵詞：實踐活動　探索能力　反思能力　思維能力　創新能力

 《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。當代最著名的數學教育家波利亞指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。掌握數學意味著什么呢？這就是說善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和有發明創造的題。因此，數學教學過程中，教師要有意識地為學生創造條件，讓學生通過參加教學實踐活動，發現、理解和掌握知識，培養學生的數學能力。筆者在課堂教學中經過幾年的不斷探索，認為重視能力的培養從以下幾方面進行教學。
 一、在實踐中培養探索能力
 探索性題型在近幾年的招生考試中屢見不鮮，而現在部分初中生由于缺乏探索意識和能力，在解答此類問題時感到束手無策，只能望“題”興嘆，因此必須加強探索性問題的實踐教學。編擬探索性問題，如已知如圖1，C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，證明AN＝BM。可以探究：(1)點C的位置的變化；(2)等邊△ACM、△CBN與線段AB相對位置的變化；(3)三角形圖形的變化，如變化為正方形、正五邊形、正六邊形，或變化為等腰三角形等；(4)從有公共頂點的兩個等邊三角形到任意正多邊形的旋轉變化等；(5)還可以從上述各種情況的組合上進行變化，探究其對題目結論的影響。又如在《勾股定理》證明教學中，我就充分利用教材中數學實驗，發揮學生主動性，通過探索“割、補”法求面積來證明勾股定理。觀察浙教版教材八(上)特殊三角形中閱讀材料圖形，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到：(1)正方形P的面積＝　　正方形Q的面積＝　　正方形R的面積＝　　我們發現，正方形P、Q、R面積之間的關系是　　　。由此，我們得到三角形ABC的三邊的長度之間存在　　　關系；(2)P、Q、R變為等邊三角形時，三角形ABC的三邊的長度之間存在　　關系；(3)P、Q、R正六邊形時，三角形ABC的三邊的長度之間存在　　關系；(4)P、Q、R以邊長為直徑的半圓時，三角形ABC的三邊的長度之間存在　　關系。同學們你能大膽地猜想P、Q、R為　　形，以上結論仍然成立。
 二、在實踐中鞏固反思能力
 通過反思，可以促進知識的同化和遷移。如圖2，
四邊形ABCD中，A、B、C、D的坐標分別為(－8，
3)、(－4，5)、(0，y)、(x，0)，當四邊形ABCD的
周長最小時，求y∶x的值。開始，學生想用代數的
方法求解，結果碰到麻煩。這時，學生感到沒有思路，
開始討論，我看時機成熟于是引導學生思考：(1)線段
AB的長度會不會變?(不會)要使四邊形的周長最短，
只要線段AD、DC、BC的和最小。求幾條線段和最
小，我們有沒有做過類似的問題?(有)請舉一例。如：
已知直線L的同側有A、B兩點，在直線L上能否找
到一點P，使PA＋PB最短?如圖3所示。(2)繼續思考：點P如何求?  關鍵是求什么?(找出點A關于L對稱的點A1，連結BA1 ，交L于一點，該點即P點。)通過上述的引導反思，學生馬上找到解決上題的方法(如圖4)：把點A關于x軸對稱的點A和B關于y軸對稱的點B，連結B１A１交x軸、y軸的點即為所求的點D、點C。略解如下：
 ∵A(－8，3)，B(－4，5)
 ∴A1(－8，－3)，B1(4，5)
 所以直線A1B1的解析式為y＝x＋
 ∴C(0，)，D(－，0)
 ∴＝－
 對解題過程的反思，往往可以看到問題的本質，發現一些意外的東西。許多創新靈感的獲得都是源于反思的自覺。又如(1)“剪一剪”——讓學生拿出準備好的正方體，解決下面的問題：沿著棱將正方體剪開，你能設法得到哪些平面圖形？與同伴交流，讓學生將各自得到的圖形貼到黑板上(重復的不再入選)；(2)“歸歸類”——引導學生將十一種不同類型的展開圖進行分類；(3)“再思考”——①為什么同樣的正方體能展成這么多種平面展開圖？你是怎么做的？②剛才的分類完整嗎？你是怎么考慮的？在體現探索過程的數學活動中，教師要引導學生經歷“做好數學的過程”，并在這個過程中與學生平等地交流和給予恰到好處的點撥。本節課是學生發展自身空間觀念的一個重要環節，不能讓活動局限于操作活動，應在操作之后向學生提出明確的反思任務，使他們把自己的活動作為思考的對象，更好地理解相關數學知識的意義，以切實發展學生的空間想象力。探究的結果，如果僅限于“交流結果的多樣”，而不是“思考為什么多樣”，那么學生的操作就是盲目隨意的行為，學生的思維就無法被引到更深處，探索法的有效性大打折扣。
 每次考試評卷結束后，我們常發現一些考生將一些完全可以做對的考題解錯，造成無謂失分，事后深感后悔，但下次考試又犯類似的錯誤。造成這些學生解題錯誤的原因，不在于他們知識體系不健全，往往是由于審題時粗心大意，對已知條件的內涵沒有充分利用，對隱蔽條件未深入探索。因此，每次都因粗心失分而帶來遺憾。教學實踐表明，在教學過程中，經常地注意培養學生解題后反思的習慣，可以有效地克服學生解題粗心的現象，提高學習效率。
 三、在實踐中發展思維能力
 思維能力是智力的核心，是構成智力的主要因素，在實踐中要始終貫徹數形結合法、歸納法、演繹法等，讓學生動手畫圖、動腦思考，學中用、用中學、學中思、用中練，反反復復，一題多問，一題多解，多題一解。
 如若等腰三角形一個角為110°，它的另外兩個角是多少度？將該題的條件和結論作適當的變換，進行變式設問，得以下題組：
 (1)若等腰三角形的一個頂角為50°，則底角為多少度？
 (2)若等腰三角形的一個底角為50°，則其它角為多少度？
 (3)若等腰三角形的一個內角為50°，則其余的角為多少度？
 (4)若等腰三角形的一個內角為x°，則其余角為多少度？
 使學生知道“等腰三角形的頂角可能是鈍角(或銳角)，但底角一定是銳角”的這一規律。
 又如，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0, 0)與(12, 0)，最高點的縱坐標是3，求其解析式。
 解法(一)：直接代入法，得
 
 
 
 
 解法(二)：設頂點式：y＝a(x－h)2＋k，則
 
 
 解法(三)：由對稱性知，頂點為(6, 3)，則有
 
 
 
 解法(四)：由兩根式，得知頂點為(6, 3)；由題意知，0，12是一元二次方程的兩根，可用y＝a(x－0)(x－12)，再把(6, 3)代入求得a的值。
 解法(五)：可用y＝a(x－6)2＋3，代入(0, 0)求a。
 解法(六)：由韋達定理可知：
 
 
 
 
 綜上，所求得函數解析式為：y＝－x2＋x。使學生掌握了二次函數求解析式的方法，鞏固了有關一元二次方程的知識。
 再如，解關于x的方程
 (1)x＋＝x＋
 (2)＋＝
 (3)x2－x＋1＝0(變形，x＋＝4＋)
 上面一組代數題，題目不同，而解法基本相同，都能轉化為形如第一題的形式(倒數方程)來解答，在教學中，讓學生抓住這一規律，使貌似繁雜的習題迎刃而解。
 四、在實踐中提高創新能力
 數學創新可以用引趣、質疑、聯想步驟進行。如圖已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DE)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉。(1)在圖5中，DE交AB于M，DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形AMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積。(2)繼續旋轉至如圖6的位置，延長AB交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。(3)繼續旋轉至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB

論情景創設的有效性
慈溪市教育局    范葉青

 新課程理念要求數學教學應重視情景創設，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，從而更好地理解數學知識的意義。這一理念在當前的課堂教學中基本落實，一定程度上提高了課堂教學的效率。但是，情景設置的有效性在我們的數學課堂教學中不盡人意，不乏為情景而設情景的狀況，在當前教學研究的重心轉軌到著力提高常態課的質量的背景下，理性認識新課程的教學理念，對情景設置的有效性的研究尤為必要，以下是筆者在教學和調研的基礎上的一些思考。
 一、明確情景創設目的是情景有效的前提
 課堂教學中的情景創設有四個方面的目的：（1）讓學生在經歷知識的形成與發展的過程中，更好地理解數學知識的現實意義；（2）由情景的現實意義及挑戰性，激發學生的學習興趣，激勵學習動機；（3）通過由情景引發的問題的思考和有效的互動，營造民主的教學氛圍；（4）溫故而知新，找準知識的“最近生長點”。
 我們在設置情景時，應結合具體的教學內容，努力達到這四個方面的目的，衡量一個情景是否有效的標準之一就是看設置的情景是否能達成上述目的。
 如：課題：中位數和眾數
①情境：阿毛有沒有欺騙媽媽嗎？
 一次數學考試，阿毛得到78分。她聽老師說全班的平均分為77分，所以阿毛告訴媽媽說，自己這次成績在班上處于“中等偏上水平”。
 你認為阿毛有沒有欺騙媽媽嗎？
 學生議論后（有的學生說：“沒有”。有的說：“有”），教師給出這次考試的實際成績：
全班共29人,  其他同學的成績為1個100分，4個90分,  21個80分,以及一個10分和一個 5分。
（點評：通過情境、問題以及有效的互動，營造民主的教學氛圍，并從知識的“最近點（平均數）”形成和發展新的知識點，揭示了本節課學習的主題）
提出問題：（1）在這個問題中平均數還能反映學生得分的一般水平嗎？
         （2）你認為用哪個數據能反映學生成績的一般水平？
 又如，課題：代數式。②情境：教師展示幻燈片：一幅魯迅的肖像及詩句（橫眉冷對千夫指，俯首甘為孺子牛）
教師：今天老師領著大家去游魯迅故居。
提出問題：（1）大家知道魯迅紀念館距學校有多少遠嗎?若校車的速度為80千米/小時，那么，經t小時后到達紀念館,求魯迅紀念館距學校的距離為多少千米?
 ……
 （點評：一改數學課抽象、枯燥乏味的面貌，突出數學是一種文化，從游魯迅亡故居這一事件中，產生和理解代數式的概念）
 這樣的設計從學生身邊熟悉的情景中，經歷了中位數和眾數這些概念的形成與發展的過程，從而更好地體會和理解數學知識的意義，激發學生的學習興趣，通過有效的互動，營造了民主的教學氛圍，而且這樣的設計從學生已有的知識出發，符合“最近發展區”的原理。
 二、有效的情景需要高質量的問題
 一個好的情景必須與本節課的教學內容密切相關。但是，有了好的情景不一定能達到創設情景的目的，有許多老師設計出了比較好的情景，但課上下來總覺得沒有好的效果，究其原因，主要是情景后的問題設計出了問題。如以下一節課的情景創設，不僅有一個好的情景，而且老師始終圍繞創設情景想要達到的目的，提出有價值的問題。
③（中位數和眾數）情境：招聘啟事
     因我公司擴大規模，現需招員工若干名，我公司的收入很高。有意者請于2007年3月6日前到我公司人事部面試。聯系電話：××××××。
                                      公司人事部     2007年2月28日
經理說：我公司員工的收入很高，月平均工資為2000元.員工甲：我的工資是1200元，在公司中算中等收入.員工乙：我們好幾個人工資都是1100元.
公司員工的月工資報表一：
提出問題：（1）甲說月平均工資2000元對不對呢?
  （2）你覺得用平均數代表公司的員工工資合適嗎?
 （3）你認為應該用哪個數據反映員工的平均收入比較合適？
 通過對情景后極具誘導性的問題的思考，引起學生的認知沖突，認識學習新知識的必要性，激發學生學習興趣．
 相反，有些老師由于沒有高質量的問題支撐，不可能使學生通過情景的體驗，對情景中所涉及的數學問題進行理性的思考，從而不可能產生認知上的沖突，激發起學生求知的欲望，情景的趣味性也成了山間云霧，一會就散，情景成了為創設情景而設，成了擺設。
 三、有效的情景需要體驗和互動
 情景不僅需要貼近學生的生活實際，與教材內容有著緊密的聯系，而且必須使學生對情景有一定的體驗，進而產生數學化的問題。因為雖然有些情景生活中經常遇到，但對情景中隱含的數學問題學生不易發現。如在等腰三角形的“三線合一”的性質的教學中，把建筑工人用等腰三角形尺及重錘線檢驗橫梁是否水平作為情景，就需要學生首先對檢驗的方法作一體驗，才能產生如何用幾何知識解釋這一現象的學習動機。同時情景和問題需要生生和師生間的互動，只有通過互動才能真正讓學生經歷知識的形成過程。如：
④（中位數和眾數）情境：展開你想象的翅膀
 有5個人在峙山公園里游玩,他們的平均年齡是20歲,你認為他們的年齡大致是……
（七嘴八舌的議論和爭吵，有些學生開始舉例）
學生1：這是高三學生，如18、19、20、21、22；
學生2：這是一位老爺爺帶著四個孩子在游玩,他們的年齡分別是:  7、8、8、9、68歲
提出問題：從學生2的這一組人，（1）平均年齡20歲能代表這群人的實際年齡特征嗎?
    （2）你認為應該用哪個數據反映這群人的實際年齡特征較好？
 情境的趣味性，以及學生主體性突現的互動，平等民主的教學氛圍自然形成，同時激發了學生學習新知的強烈動機。
 綜上所述，要達到情景創設的目的，設計和教學時應遵循以下原則：（1）興趣性原則。情景應是學生感興趣的；（2）簡潔性原則。為保證重點教學內容的教學時間，應努力在最短的時間內通過情景導出本節課的主題；（3）最近性原則。必須從學生已有的知識中尋找最近的生長點（或發展區）；（4）互動性原則。情景和情景中的問題必須保證學生積極參與活動和思考，獲得體驗。

　　　　　　圖5　　　　　　　　圖6　　　　　　　　　　　　　圖7

于M，DM＝DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明。此題的呈現形式是動態的、變化的，題目的設計層次分明，梯度合理。在教學中我首先幫助學生尋找題中特殊點，然后讓學生動手去操作，由上述方法給學生有大膽猜想、大膽推測的空間，激發學生去自主思考、互相協作、共同探究、自我提高，最后由此創新出此題的教材中知識雛形(正方形的性質)。教師應以訓練學生創新能力為目的。保留學生自己的空間，尊重學生的愛好、個性和人格，以平等、寬容、友善的態度對待學生，使學生在教育教學過程中能夠與教師一起參與教和學中，做學習的主人，形成一種寬松和諧的教育環境。只有在這種氛圍中，學生才能充分發揮自己的聰明才智和創造想象的能力。
 合情推理是創新思維的火花，操作探究是創新的基本技能，我們在教學中要充分挖掘新教材教學資源，用火花去點燃學生的學習激情，用技能去武裝學生的手腦。使新課程的教學過程成為師生交流、共同發展提高的互動過程；使數學的課堂教學真正達到：導入環節“未成曲調先有情”；講述環節“一枝一葉總關情”，細節設計“嫁與春風不用媒”；情景創設“山雨欲來風滿樓”；教學機智  “隨風潛入夜，潤物細無聲”的藝術境界；使課堂教學真正成為師生富有個性化的創造過程。
 教學實踐證明：在數學教學中讓學生充分參加實踐活動，符合學生好奇、愛動的心理，使他們變被動學習為主動學習，真正成為學習的主體，使學習成了一種有樂趣的活動；學生參加實踐活動，不僅可以聽、說，而且可以看、做、想、眼、耳、口、手、腦都被調動起來，學生可以從不同的角度接受來自視覺、聽覺、觸覺和運動感覺的信息，更好的把握知識之間的聯系，更快的上升理性認識；學生參加實踐活動既可以使他們體驗到成功的喜悅，又可以逐步滲透和培養他們“實踐第一”的辯證唯物主義觀點。為此，我們要千方百計把實踐活動引進課堂，讓學生在實踐的基礎上有效地獲取知識，從而培養學生的數學能力。

參考文獻：
[1]常汝吉，《數學課程標準》，P2，XX師范大學出版社，2001.7。
[2]中國人民大學書報資料中心，《中學數學教與學》，P9，中國人民大學出版社，2005.4。
[3]中國人民大學書報資料中心，《中學數學教與學》，P20，中國人民大學出版社，2005.7。