淺談數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)及應(yīng)用中的作用

 數(shù)學(xué)學(xué)科是現(xiàn)代社會最為基礎(chǔ)和最為重要的學(xué)科，它不僅為其它自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會科學(xué)提供了強(qiáng)有力的工具，而且隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展，不斷催生出新的高科技，成為現(xiàn)代技術(shù)的關(guān)鍵部分。計算機(jī)這個現(xiàn)代信息社會的重要物質(zhì)基礎(chǔ)，就是由數(shù)學(xué)天才馮·諾依曼在數(shù)學(xué)理論下構(gòu)建的。在信息社會，數(shù)學(xué)已不僅僅是技術(shù)發(fā)展的理論基礎(chǔ)和研究工具，而且已成為現(xiàn)代技術(shù)的一部分，直接以軟件、芯片等作為載體而產(chǎn)品化，成為我們?nèi)粘Ｉ�活用品的技術(shù)組成部分。現(xiàn)代信息社會、信息技術(shù)的發(fā)展，不僅僅向數(shù)學(xué)提出了理論的要求，而且也向數(shù)學(xué)提出了技術(shù)的要求。計算機(jī)科學(xué)被認(rèn)為是算法的科學(xué)，而算法研究的本質(zhì)是數(shù)學(xué)問題。計算機(jī)在很多領(lǐng)域的應(yīng)用，如圖象傳輸與壓縮、復(fù)雜的曲面造型、生物信息等都在呼喚新的數(shù)學(xué)方法，而數(shù)學(xué)的研究為解決許多高科技問題提供有力工具。
 
對數(shù)學(xué)的再認(rèn)識
 數(shù)學(xué)是一種語言，是一種科學(xué)的共同語言，若沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠(yuǎn)是無法理解的。任何一門科學(xué)只有使用了數(shù)學(xué)，才成其為一門科學(xué)，否則就是不完善與不成熟的。數(shù)學(xué)語言已成為人類社會中交流和貯存信息的重要手段，宇宙和人類社會就是用數(shù)學(xué)語言寫成的一本大書。培根（Ｂａｃｏｎ）說：“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”。忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。幾千年來，凡是有意義的科學(xué)理論與實踐成就，無一例外地是借助于數(shù)學(xué)的力量。
 數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具。恩格斯說：數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)就是研究數(shù)量、形狀和他們之間關(guān)系的科學(xué)，這是數(shù)學(xué)的三大領(lǐng)域。當(dāng)前數(shù)學(xué)還在發(fā)展，目前已經(jīng)發(fā)展成為包括一百多個分枝的龐大系統(tǒng)。數(shù)學(xué)已經(jīng)不是原來人們頭腦中僅僅是數(shù)和形，僅僅是陳景潤的概念了。隨著計算機(jī)的發(fā)明和技術(shù)迅速提高，數(shù)學(xué)學(xué)科也進(jìn)入了新的黃金時代。數(shù)學(xué)包括三個方面，模式、結(jié)構(gòu)和模擬現(xiàn)實世界。它不光是理論，也是能力，是文化，是素質(zhì)。
 數(shù)學(xué)可分為五大學(xué)科：純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌與控制、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。應(yīng)用數(shù)學(xué)則以以上數(shù)學(xué)為綜合理論基礎(chǔ)，可分為：價值數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、決策論等。目前又發(fā)展出混沌、小波變換、分形幾何等。
 　數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)的理論基礎(chǔ)，與化學(xué)、理論物理、信息科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等學(xué)科相互交叉。數(shù)學(xué)也是高新技術(shù)的理論基礎(chǔ)，這一點(diǎn)對信息科學(xué)與信息技術(shù)尤其重要。
 
從計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展看數(shù)學(xué)的作用
 計算機(jī)科學(xué)的學(xué)科內(nèi)容是以理工科的基礎(chǔ)科目，包括物理學(xué)（主要是電子技術(shù)科學(xué)）、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（含離散數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等）為基礎(chǔ)理論支撐發(fā)展起來的，理論與實踐相結(jié)合的學(xué)科。按照基礎(chǔ)理論、基本開發(fā)技術(shù)、應(yīng)用以及它們與硬件設(shè)備聯(lián)系的緊密程度分成三個層面，即理論基礎(chǔ)層、專業(yè)基礎(chǔ)層和應(yīng)用層。
 最底層是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)層，它包括計算的數(shù)學(xué)理論、高等邏輯等內(nèi)容。其中，計算的數(shù)學(xué)理論涵蓋可計算性（遞歸論）與計算復(fù)雜性理論、形式語言與自動機(jī)理論、形式語義學(xué)（主要指代數(shù)語義、公理語義等）、PETRI網(wǎng)理論等方向；高等邏輯涵蓋模型論、各種非經(jīng)典邏輯與公理集合論等方向。
中間層是計算機(jī)科學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)層，它是為應(yīng)用層提供技術(shù)和環(huán)境的一個層面，包括軟件開發(fā)方法學(xué)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與通信技術(shù)、程序設(shè)計科學(xué)、計算機(jī)體系結(jié)構(gòu)、電子計算機(jī)系統(tǒng)基礎(chǔ)。其中，軟件開發(fā)方法學(xué)涵蓋順序、并行與分布式軟件開發(fā)方法學(xué)，如軟件工程技術(shù)、軟件開發(fā)工具和環(huán)境等方向；計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與通信技術(shù)涵蓋計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)技術(shù)、數(shù)據(jù)通信技術(shù)，以及信息保密與安全技術(shù)等方向；程序設(shè)計科學(xué)涵蓋數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)技術(shù)、數(shù)值與符號計算、算法設(shè)計與分析（包括并行與分布式算法設(shè)計與分析）、程序設(shè)計語言、程序設(shè)計語言的文法與語義、程序設(shè)計語言的文法與語義描述、程序設(shè)計方法學(xué)、程序理論等方向；電子計算機(jī)系統(tǒng)基礎(chǔ)涵蓋數(shù)字邏輯技術(shù)、計算機(jī)組成原理、故障診斷與器件測試技術(shù)、操作系統(tǒng)、編譯技術(shù)、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)實現(xiàn)技術(shù)、容錯技術(shù)等方向。
 最上層是計算機(jī)科學(xué)的應(yīng)用層，它包括人工智能應(yīng)用與系統(tǒng)，信息、管理與決策系統(tǒng)，計算可視化、科學(xué)計算等。其中，人工智能應(yīng)用與系統(tǒng)涵蓋人工智能、機(jī)器人、神經(jīng)元計算、知識工程、自然語言處理與機(jī)器翻譯、自動推理等方向；信息、管理與決策系統(tǒng)涵蓋數(shù)據(jù)庫設(shè)計與數(shù)據(jù)管理技術(shù)，數(shù)據(jù)表示與存儲（包括多媒體技術(shù)），數(shù)據(jù)與信息檢索，管理信息系統(tǒng)，計算機(jī)輔助系統(tǒng)，決策系統(tǒng)等方向；計算可視化涵蓋計算機(jī)圖形學(xué)、計算幾何、模式識別與圖像處理等方向。
 從計算機(jī)的誕生和發(fā)展過程來看，每一步都與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)的發(fā)展息息相關(guān)。
 
 三、從計算機(jī)的靈魂——系統(tǒng)及軟件的編輯看數(shù)學(xué)的作用
 我是學(xué)數(shù)學(xué)的，現(xiàn)在從事計算機(jī)方面的工作，也了解幾種程序設(shè)計語言，80年代我在中學(xué)曾帶過BASICA程序設(shè)計奧賽班，在教學(xué)BASICA語言過程中，深深體驗到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對學(xué)好編程的重要性，其中不光要有數(shù)學(xué)知識，更重要的是“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”。所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略和程序，是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。簡單地說，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)和行為。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程。當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度時就產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。由此可見，數(shù)學(xué)思想比方法更抽象、更概括、更本質(zhì)，思想是相應(yīng)方法的理論根據(jù)，方法是相應(yīng)思想的技術(shù)實施。如果將數(shù)學(xué)思想與方法看成一整體概念－－數(shù)學(xué)思想方法，就是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)反映。數(shù)學(xué)好象一直被人稱為科學(xué)之王，盡管我們知道這種說法有失確鑿。但是我們并不能否認(rèn)數(shù)學(xué)的作用，一個專門為了理論而理論的學(xué)科；一個走在時代前沿的學(xué)科。 因此，我們把計算機(jī)語言稱為“算法語言”也就不足為怪了。
 一直以來有不少人搞不清數(shù)學(xué)與算法的關(guān)系。算法是建立在抽象數(shù)據(jù)類型（ADT）并且封裝了一系列的運(yùn)算，也就是算法是以抽象數(shù)據(jù)類型為基礎(chǔ)的。而抽象數(shù)據(jù)類型本身就是一（或多）組的數(shù)學(xué)模型，也可以說（狹義的）算法就是在一個數(shù)學(xué)模型上求解問題的步驟。
定義：ADT  X;  
輸入：INPUT  X；
對輸入數(shù)據(jù)的處理過程：F(X)  =  X'
輸出：X';
從輸入狀態(tài)X的經(jīng)過映射F(X)后，轉(zhuǎn)為目標(biāo)狀態(tài)X'，就是程序的求解過程。實際上對于F()可以簡單的理解成“算法”。簡單一點(diǎn)說，程序?qū)嶋H上是由一系列簡單的邏輯組成的。編程能力是由你的邏輯思維能力和抽象思維能力決定的。數(shù)學(xué)是訓(xùn)練邏輯思維的最好方法。舉個例子：我的一個學(xué)生曾來信對我說：“我是學(xué)習(xí)信息與計算科學(xué)的，一直與數(shù)學(xué)專業(yè)的一起上課。只是比他們多開了一些計算機(jī)方面的課程。”這是因為數(shù)學(xué)系的學(xué)生再學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)會覺得很簡單。數(shù)學(xué)差的人不可能成為優(yōu)秀的搞計算機(jī)軟件的人。舉個簡單的例子：只準(zhǔn)一個像素一個像素的，請你畫一個圓。能沒有數(shù)學(xué)？而且還不是太簡單的數(shù)學(xué)問題。

    四、今后，數(shù)學(xué)與計算機(jī)的關(guān)系將更加緊密，互相促進(jìn)、共同發(fā)展。
 在計算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，科學(xué)計算是一個長久不衰的方向。該方向主要依賴于應(yīng)用數(shù)學(xué)中的數(shù)值計算的發(fā)展，而數(shù)值計算的發(fā)展也受到來自計算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的影響。早期，科學(xué)計算主要在單機(jī)上進(jìn)行，經(jīng)歷了從小規(guī)模數(shù)值分析到中大規(guī)模數(shù)值分析的階段。隨著并行計算機(jī)和分布式并行計算機(jī)的出現(xiàn)，并行數(shù)值計算開始成為科學(xué)計算的熱點(diǎn)，處理的問題也從中大規(guī)模數(shù)值分析進(jìn)入到中大規(guī)模復(fù)雜問題的計算。所謂中大規(guī)模復(fù)雜問題并不是由于數(shù)據(jù)的增大而使計算變得困難，使問題變得復(fù)雜，而主要是由于計算中考慮的因素太多，特別是一些因素具有不確定性而使計算變得困難，使問題變得復(fù)雜，其結(jié)果往往是在算法的研究中精度與復(fù)雜性的矛盾難于克服。幾何是數(shù)學(xué)的一個分支，它實現(xiàn)了人類思維方式中的數(shù)形結(jié)合。在計算機(jī)發(fā)明之后，人們自然很容易聯(lián)想到了用計算機(jī)來處理圖形的問題，由此產(chǎn)生了計算機(jī)圖形學(xué)。計算機(jī)圖形學(xué)是使用計算機(jī)輔助產(chǎn)生圖形并對圖形進(jìn)行處理的科學(xué)。并由此推動了計算機(jī)輔助設(shè)計（CAD）、計算機(jī)輔助教學(xué)（CAI）、計算機(jī)輔助信息處理、計算機(jī)輔助測試（CAT）等方向的發(fā)展。
 在各種實際應(yīng)用系統(tǒng)的開發(fā)中，有一個重要的方向值得注意，即實時系統(tǒng)的開發(fā)。利用計算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理被認(rèn)為是人工智能的一個方向。人工智能的另一個方向是研究一種不依賴于任何領(lǐng)域的通用解題程序或通用解題系統(tǒng)，稱為GPS。特別值得一提的是在專家系統(tǒng)的開發(fā)中發(fā)展了一批新的技術(shù)，如知識表示方法、不精確性推理技術(shù)等，積累了經(jīng)驗，加深了對人工智能的認(rèn)識。20世紀(jì)70年代末期，一部分學(xué)者認(rèn)識到了人工智能過去研究工作基礎(chǔ)的薄弱，開始轉(zhuǎn)而重視人工智能的邏輯基礎(chǔ)研究，試圖從總結(jié)和研究人類推理思維的一般規(guī)律出發(fā)去研究機(jī)器思維，并于1980年在《Artificial Intelligence》發(fā)表了一組非單調(diào)邏輯的研究論文。他們的工作立即得到一大批計算機(jī)科學(xué)家的響應(yīng)，非單調(diào)邏輯的研究很快熱火朝天地開展起來，人工智能的邏輯基礎(chǔ)成為人工智能方向發(fā)展的主流。這些研究與發(fā)展，都依賴與數(shù)學(xué)的發(fā)展，并不斷的向數(shù)學(xué)學(xué)科提出新的要求，不斷的促進(jìn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究與創(chuàng)新。
 
 總之，在計算機(jī)科學(xué)中，計算比實現(xiàn)計算的技術(shù)更重要。只有打下堅實的理論基礎(chǔ)，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)計算機(jī)科學(xué)技術(shù)才能事半功倍，只有建立在高起點(diǎn)理論基礎(chǔ)之上的計算機(jī)科學(xué)技術(shù)，才有巨大的潛力和發(fā)展前景。