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從集合論的觀點看中學數學中的概念和問題
【摘 要】：集合論是中學數學，乃至整個數學的理論基礎．其他數學概念，諸如整數、有理數、實數、幾何圖形、函數、代數、運算、微積分等，都可以用集合論的理論、方法和語言加以表述。
【關鍵詞】：集合論的理論與方法   表述 中學代數 幾何
 19世紀70年代Cantor創立的集合論，雖然在上世紀末已被數學家廣泛接受，并用它作為構筑整個數學大廈的基礎，但是它本身卻是用說明的方式建立的，未被嚴格理論化，因此被后人稱為“樸素”的集合論．盡管如此，在我們中學數學教科書或一般高等數學(非數學基礎學科)書中所講、所用的集合論知識，正是這種樸素的集合論．
  從集合論的觀點來看，中學代數主要研究數集的擴張、運算和變換．解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得與由命題形式給出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具體數集(指明它的元素是哪些數)．解n元方程組，則是要求得笛卡兒積Rn的一個具體子集，使等于由命題給出的集合．
中學幾何，則主要研究作為平面和空間點集的幾何圖形．幾何圖形的性質，可以歸結為相應點集之間關系的研究．幾何圖形的運動和變換，可以從相應集合的運算來考察．通過建立坐標系，把解方程與求曲線交點這兩類問題對應起來，溝通了點集與有序數組之間的聯系，把點集與數(對)集統一起來．
不少數學證明題可以歸結為：由前提和結論所確定的兩個集合相等或包含關系的判定．集合論為求解和證明數學題提供了簡明的表達方式．
下面舉出若干實例來說明這一點．
Ⅰ．關于幾何圖形
中學平面幾何和立體幾何中一些基本幾何圖形，如線段、圓、球等，都是作為一個整體圖形來看的．從它們傳統的定義中，很難明確指出它們的各個部分究竟是什么，以致一些中學生分不清線段AB和它的長度|AB| ，圓與圓周，球和球面等．如果用集合論的方法和語言來表述這些圖形，把它們看作是滿足某些條件的點的集合．就會弄清楚這些圖形究竟包括哪些點．
 以O點為圓心、以r 為半徑的圓，是集合
⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝
而這個圓的圓周是集合｛P｜｜OP｜=r｝．
這樣，就把圓和圓周這兩個概念嚴格區分開來了．
線段AB，可表示為點集
AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝
角∠AOB，可視為由從點O出發的兩條射線OA、OB，以及平面被它們劃分開的兩部分之一的所有點構成的集合．圖2—2(a)與(b)中的兩個角，雖然它們的頂點和邊相同，但卻是完全不同的角．

Ⅱ．關于幾何題的證明
幾何中性質命題“若A，則B”，可理解為“具有性質A的某(些)幾何元素，是具有性質B的幾何元素”．
 如果令幾何元素(點、直線、圖形)x的集合
A=｛x|A(x)｝，B=｛x|B(x)｝

下面我們用這種觀點來說明幾何證明中“同一法”的理論依據．
對于性質命題“若A，則B”，如果集合A=｛x| A(x)｝是單元素集，即具有性質A的幾何元素只有一個，就說該命題符合“同一法則”．符合同一法則的幾何命題，可以用同一法給以間接證明，其證明的步驟有三：
1° 找出一個幾何元素F′∈B(即作出具有性質B的圖形F′)；
2° 證明F′∈A(即F′也具有性質A)；

這樣，運用同一法的前提條件、證明步驟，都有了充分的理論依據，以前關于同一法則和同一法的一些模糊提法，也得到了澄清．
Ⅲ．抽屜原理