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 海涅定理及其推廣和應用

 本文敘述了海涅定理的兩種形式，揭示了變量變化的整體與部分的聯系，在某種條件下，數列極限和函數極限可以相互轉換．并對海涅定理進行了推廣，給出了海涅定理條件減弱之后的等價命題，作出了新的證明．相應地海涅定理可表示為更強的形式，從而對論證某些函數極限的存在性會更方便，處理函數極限問題時更加方便實用，本文還說明了海涅定理在具體問題中的應用。
 一、引言
   在極限理論中,有一個重要的定理—海涅定理,它深刻地揭示了變量變化的整體與部分,連續與離散之間的聯系,從而給數列極限與函數極限之間架起了一座可以相互溝通的“橋梁”.在某種條件下,數列極限與函數極限可以相互轉換.根據海涅定理的必要性,可將函數極限化為函數值數列的極限,根據海涅定理的充分性,又能將數列極限的性質轉移到函數極限上來.在極限理論和運用中,占有非常重要的地位.
    不同的教科書對海涅定理的敘述有所差異,本文敘述了海涅定理的兩種形式,通過分析定理1的含義指出了變量離散變化與連續變化之間的內在聯系,即變量變化的整體與部分,連續與離散之間的聯系，從而成為將數列極限問題與函數極限問題相互溝通,相互轉化的“橋梁”,這是海涅定理在函數極限理論中起著極為重要的原因之一,通過分析定理2,我們知道海涅定理的這兩種形式從根本上說是相同的,但大同中有小異:前一種表述明確地指出了極限值是A,后者沒有.因而這兩種表述各具特色:前者具體,后者抽象,更有概括性.