關(guān)于食油生產(chǎn)問(wèn)題的模型

摘要

 在這篇論文中，分析了關(guān)于如何安排生產(chǎn)中各事項(xiàng)以實(shí)現(xiàn)總利潤(rùn)最大化的問(wèn)題。在問(wèn)題一中考慮各個(gè)約束條件建立了線性規(guī)劃模型，用LINGO軟件編程求解出最優(yōu)生產(chǎn)安排，最優(yōu)解為最大利潤(rùn)238231.5元，其中生產(chǎn)量為540000元，購(gòu)買原料油的成本費(fèi)用為247035元，存儲(chǔ)費(fèi)用為54733.8元。問(wèn)題二中我們利用一中的模型，隨著價(jià)格的增加公司利潤(rùn)減少，最后趨于平穩(wěn)。在問(wèn)題三中加入了新的約束條件，我們通過(guò)添加了相應(yīng)的0-1變量將它們附加到了原來(lái)的模型中再次求解，得出最優(yōu)解最大利潤(rùn)218976.9元，其中生產(chǎn)量為503999.996元，購(gòu)買原料油的成本費(fèi)用為228346元，存儲(chǔ)費(fèi)用為56676.85元。
 最后，給出了相應(yīng)的靈敏度分析，分析了各個(gè)變量和約束條件對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。

問(wèn)題的提出
 食油廠通過(guò)精煉兩種硬質(zhì)原料油和軟質(zhì)原料油，得到一種食油，以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品油。硬質(zhì)原料油來(lái)自兩個(gè)產(chǎn)地: 產(chǎn)地1和產(chǎn)地2，而軟質(zhì)原料油來(lái)自另外三個(gè)產(chǎn)地: 產(chǎn)地3， 產(chǎn)地4 和產(chǎn)地5。據(jù)預(yù)測(cè)，這5種原料油的價(jià)格從一至六月分別為下表所示, 產(chǎn)品油售價(jià)200元/噸 。
 硬質(zhì)油和軟質(zhì)油需要由不同生產(chǎn)線來(lái)精煉。硬質(zhì)油生產(chǎn)線每月最大處理能力為200噸，軟質(zhì)油生產(chǎn)線最大處理能力為250噸/月。五種原料油都備有貯罐, 每個(gè)貯罐容量均為1000噸, 每噸原料每月存貯費(fèi)用為5元。而各種精制油以及產(chǎn)品無(wú)油罐可存貯，精煉的加工費(fèi)用可略去不計(jì)，產(chǎn)品銷售沒(méi)有任何問(wèn)題。
 產(chǎn)品油的硬度有一定的技術(shù)要求，它取決于各種原料油的硬度以及混合比 例。 產(chǎn)品油的硬度與各種成份的硬度以及所占比例成線性關(guān)系。根據(jù)技術(shù)要求, 產(chǎn)品油的硬度必須不小于3.0而不大于6.0。硬質(zhì)1、硬質(zhì)2、軟質(zhì)3、軟質(zhì)4、軟質(zhì) 5等各種原料油的硬度為：8.8，6.1，2.0，4.2，5.0，其中硬度單位是無(wú)量綱的, 并且這里假定精制過(guò)程不會(huì)影響硬度。
 假設(shè)在一月初, 每種原料油有500噸存貯而要求在六月底仍保持同樣貯備。
 (1) 根據(jù)下表 預(yù)測(cè)的原料油價(jià)格, 編制逐月各種原料油采購(gòu)量、耗用量及庫(kù)存量計(jì)劃, 使本年內(nèi)的利潤(rùn)最大。
 (2) 考慮原料油價(jià)格上漲對(duì)利潤(rùn)的影響。據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)分析, 若二月份硬質(zhì)原料油價(jià)格比表中的數(shù)字上漲%，則軟質(zhì)油在二月份的價(jià)格將比表中的數(shù)字上漲2%。 相應(yīng)地三月份硬質(zhì)原料油將上漲2%，軟質(zhì)原料油將上漲4%, 依此類推至六月份。試分析從1到20的各種情況下, 利潤(rùn)將如何變化?
(3) 附加以下3個(gè)條件后, 再求解上面的問(wèn)題:
 ① 每一個(gè)月所用的原料油不多于三種。
  ② 若在某一個(gè)月用一種原料油, 那么這種油不能少于20噸 。
  ③ 若在一個(gè)月中用硬質(zhì)油1或硬質(zhì)油2, 則這個(gè)月就必須用軟質(zhì)5。
 
 
 

 原料油的價(jià)格(元/噸)
  硬質(zhì)1 硬質(zhì)2 軟質(zhì)3 軟質(zhì)4 軟質(zhì)5
一月  110 120 130 110 115
二月 130 130 110  90 115
三月 110 140 130 100  95
四月 120 110 120 120 125
五月 100 120 150 110 105
六月  90 110 140  80 135
 
模型的分析
 從題目我們可以看出這是一個(gè)，這是一個(gè)關(guān)于如何安排采購(gòu)，生產(chǎn)和存儲(chǔ)而使利潤(rùn)最大化的問(wèn)題。公司的利潤(rùn)要受到三個(gè)因素的制約，一是購(gòu)買每一種原料油的費(fèi)用，二是成品油的銷售費(fèi)，三是沒(méi)有煉制的原料油的存儲(chǔ)費(fèi)。購(gòu)買原料油的成本費(fèi)與購(gòu)買每一種原料油的數(shù)量和每一種原料油的價(jià)格有關(guān)系，應(yīng)該是價(jià)格高的原料盡量少購(gòu)買，價(jià)格低的原料多購(gòu)買。由于銷售成品油的銷售額的價(jià)格恒定不變?yōu)?00（元/噸），所以銷售額只與成品油的產(chǎn)量有線性關(guān)系，因此盡可能增加成品油的產(chǎn)量，以增加銷售額。要想增加成品油的產(chǎn)量就必須增加每一種原料油的購(gòu)買量，這樣又會(huì)引起成本的增加，還有生產(chǎn)能力的限制，因此這是矛盾的，但是在這過(guò)程中一定存在一個(gè)最優(yōu)的方案使得這兩個(gè)目標(biāo)最大。存儲(chǔ)費(fèi)用與存儲(chǔ)原料油總數(shù)量存在一種線性關(guān)系，存儲(chǔ)原料油的數(shù)量越少存儲(chǔ)費(fèi)用越少，盡量保證存儲(chǔ)的原料油總量少，相應(yīng)的購(gòu)買的原料油的量應(yīng)該盡量少。這三個(gè)因素是互相影響的，既是矛盾的又是聯(lián)系的。因此我們考慮建立線性規(guī)劃的模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

模型的基本假設(shè)

假設(shè)每月月初購(gòu)買原料油；
假設(shè)每月的庫(kù)存量為月底生產(chǎn)完后的剩余量；
假設(shè)煉制過(guò)程沒(méi)有質(zhì)量損失；
假設(shè)每月沒(méi)用的原料油到下個(gè)月時(shí)都是存滿一個(gè)月的；
假設(shè)生產(chǎn)出的食油均能在當(dāng)月賣出；
假設(shè)第六個(gè)月的庫(kù)存費(fèi)用算入前半年的費(fèi)用支出里。

模型符號(hào)

在第i月第j類油的購(gòu)買量（噸）;
在第i月第j類油的耗用量（噸）；
在第i月第j類油的庫(kù)存量（噸）；
第i月第j類油的單價(jià)（元/噸）；

模型的建立與求解

問(wèn)題一：
針對(duì)問(wèn)題一建立關(guān)于它的線性規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)是利潤(rùn)的最大化。
利潤(rùn)=生產(chǎn)銷售額（200）-購(gòu)買原料油的成本費(fèi)（）-存儲(chǔ)費(fèi)（）
目標(biāo)函數(shù)：
約束條件：
硬質(zhì)原料生產(chǎn)約束：
軟質(zhì)原料生產(chǎn)約束：
硬度限制：
存儲(chǔ)量限制：
連續(xù)約束（生產(chǎn)，購(gòu)買，庫(kù)存之間的關(guān)系）：
      
非負(fù)性：

我們根據(jù)以上分析建立的線性規(guī)劃模型，運(yùn)用lingo軟件編程（程序和運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)附錄1）求解，得到了問(wèn)題的最優(yōu)解，公司的最大利潤(rùn)為238231.5元，其中生產(chǎn)量為540000元，購(gòu)買原料油的成本費(fèi)用為247035元，存儲(chǔ)費(fèi)用為54733.8元。具體的采購(gòu)，生產(chǎn)和庫(kù)存方案下表。

月份 原料油 購(gòu)買量(噸) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸) 生產(chǎn)量（噸） 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸) 庫(kù)存量(噸) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸)
一月 硬質(zhì)1 0.000000 25.00000 96.29630 0.000000 403.7037 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 35.00000 103.7037 0.000000 396.2963 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 25.00000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 25.00000 37.50000 0.000000 462.5000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 30.00000 212.5000 0.000000 287.5000 0.000000
二月 硬質(zhì)1 0.000000 40.00000 159.2593 0.000000 244.4444 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 40.00000 40.74074 0.000000 355.5556 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 0.000000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 287.50000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 287.5000 0.000000
三月 硬質(zhì)1 0.000000 15.00000 85.18579 0.000000 159.2593 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 45.00000 114.8148 0.000000 240.7407 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 15.00000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 462.50000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
四月 硬質(zhì)1 0.000000 20.00000 159.2593 0.000000 0.000000 5.000000
 硬質(zhì)2 0.000000  000 40.74074 0.000000 200.0000 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 0.000000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 20.00000 250.0000 0.000000 250.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
五月 硬質(zhì)1 159.2593 0.000000 159.2593 0.000000 0.000000 15.00000
 硬質(zhì)2 0.000000 15.00000 40.74074 0.000000 159.2593 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 25.00000 0.000000 15.92593 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 5.000000 250.0000 0.000000 0.000000 30.00000
 軟質(zhì)5 0.000000 0.000000 0.000000 1.481481 500.0000 0.000000
六月 硬質(zhì)1 659.2593 0.000000 159.2593 0.000000 500.0000 0.000000
 硬質(zhì)2 381.4815 0.000000 40.74074 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000  000 0.000000 33.70370 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 750.0000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 0.000000 35.92593 500.0000 0.000000

問(wèn)題二：
現(xiàn)在我們考慮當(dāng)原料油價(jià)格上漲時(shí)最優(yōu)生產(chǎn)方案的變化和最大利潤(rùn)的變化。由題意可得以下的價(jià)格上漲趨向：
月份 1 2 3 4 5 6
硬質(zhì)油(x%) 1 1 2 3 4 5
軟質(zhì)油(x%) 1 2 4 6 8 10
由此我們可得價(jià)格變化矩陣：，變化后的價(jià)格為：

 我們看x取從1到20各個(gè)數(shù)時(shí)變化的二十個(gè)新的價(jià)格矩陣，并代入原來(lái)的線性規(guī)劃模型中求解，同樣用LINGO求解。得到二十個(gè)模型的最優(yōu)解如下表：（由于數(shù)據(jù)很多在這里我們只關(guān)注最優(yōu)值的變化，所以沒(méi)有附上全部數(shù)據(jù)）
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
利潤(rùn)(元) 225179 212127 199075 186024 173809 163767 153798 145707 140141 134824
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
利潤(rùn)(元) 132357 129890 127942 126292 125842 125392 124942 124492 124042 123592

用Mathematica數(shù)學(xué)軟件作出最大利潤(rùn)隨價(jià)格漲幅的變化曲線圖，見(jiàn)下圖。

 從圖中不難發(fā)現(xiàn)，在x=8之前，最大利潤(rùn)隨x的增大而基本呈線性的減小，而在x>8仍然在減小但是減幅開(kāi)始減小，最后曲線趨于平坦。通過(guò)進(jìn)一步的分析可知道，當(dāng)x增達(dá)到一定程度時(shí)，從二月開(kāi)始許多原料油價(jià)格將超過(guò)成品油價(jià)格，因此在這時(shí)公司肯定會(huì)避免購(gòu)買這些原料油而是盡量購(gòu)買較為便宜的原料以供繼續(xù)生產(chǎn)，這樣才可以保證虧損額不至于繼續(xù)增加，當(dāng)x繼續(xù)增大時(shí)（x>20），二月份以后的所有原料油價(jià)格均將超過(guò)成品油價(jià)格，只有第一個(gè)月份的油價(jià)保持不變，小于成品油價(jià)格，因此公司只會(huì)在一月采購(gòu)一些原料油以供生產(chǎn)來(lái)減少虧損額，這樣公司生產(chǎn)方案就會(huì)固定下來(lái)，從而最大利潤(rùn)也固定下來(lái)。通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)x≥25時(shí)，公司所能得到的最大利潤(rùn)穩(wěn)定一定的值不再繼續(xù)減少。另外還可發(fā)現(xiàn)，在0-8之間公司的最大利潤(rùn)與x簡(jiǎn)單的成線性關(guān)系，因此在這斷區(qū)間上可以擬合出一條直線用于計(jì)算x在0－8之間變動(dòng)時(shí)的最大利潤(rùn)而不必再將x帶入程序計(jì)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

問(wèn)題三：
 在這一問(wèn)中我們考慮對(duì)食油生產(chǎn)中附加新的條件后的求解：
在配料中限制成分的數(shù)目：每一個(gè)月所用的原料油不多于三種。
不考慮某種小量的成分：若在某一個(gè)月用一種原料油, 那么這種油不能少于20噸 。
把“邏輯條件”加在各成分的混合物上：若在一個(gè)月中用硬質(zhì)油1或硬質(zhì)油2, 則這個(gè)月就必須用軟質(zhì)5。

我們考慮通過(guò)添加0-1變量來(lái)附加這些額外的條件，在這里我們?cè)O(shè)
       
這樣我們就可一建立新的線性規(guī)劃模型如下：
目標(biāo)函數(shù)：
約束條件：
硬質(zhì)原料生產(chǎn)約束：
軟質(zhì)原料生產(chǎn)約束：
硬度限制：
存儲(chǔ)量限制：
連續(xù)約束（生產(chǎn)，購(gòu)買，庫(kù)存之間的關(guān)系）：
      
每一個(gè)月所用的原料油不多于三種：
使用的原料油不能少于20噸及生產(chǎn)的上限：
 ，    
若在一個(gè)月中用硬質(zhì)油1或硬質(zhì)油2, 則這個(gè)月就必須用軟質(zhì)5：
非負(fù)性：

 我們根據(jù)以上分析建立的線性規(guī)劃模型，再次運(yùn)用lingo軟件編程（程序和運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)附錄2）求解，得到了問(wèn)題的最優(yōu)解，公司的最大利潤(rùn)為 218976.9元，其中生產(chǎn)量為503999.996元，購(gòu)買原料油的成本費(fèi)用為228346元，存儲(chǔ)費(fèi)用為56676.85元。具體的采購(gòu)，生產(chǎn)和庫(kù)存方案下表。

月份 原料油 購(gòu)買量(噸) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸) 生產(chǎn)量（噸） 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸) 庫(kù)存量(噸) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響(元/噸)
一月 硬質(zhì)1 0.000000 30.00000 155.0000 0.000000 345.0000 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 35.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 163.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 25.00000 230.0000 0.000000 270.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 30.00000 20.00000 0.000000 480.0000 0.000000
二月 硬質(zhì)1 0.000000 45.00000 155.0000 0.000000 190.0000 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 40.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 138.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 190.00000 0.000000 230.0000 0.000000 230.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 20.00000 0.000000 460.0000 0.000000
三月 硬質(zhì)1 0.000000 20.00000 85.18519 0.000000 104.8148 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000 45.00000 114.8148 0.000000 385.1852 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 153.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 5.000000 0.000000 198.5185 230.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 580.00000 0.000000 250.0000 0.000000 790.0000 0.000000
四月 硬質(zhì)1 0.000000 25.00000 85.18519 0.000000 19.62963 0.000000
 硬質(zhì)2 0.000000  000 114.8148 0.000000 270.3704 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 138.9714 0.000000 75.47302 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 20.00000 250.0000 0.000000 230.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 540.0000 0.000000
五月 硬質(zhì)1 135.3704             0.000000 155.0000 0.000000 0.000000 15.00000
 硬質(zhì)2 0.000000 15.00000 0.000000 0.000000 270.3704 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 163.9714 0.000000 2.457144 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 0.000000 5.000000 230.0000 0.000000 0.000000 30.00000
 軟質(zhì)5 0.000000 0.000000 20.00000 0.000000 520.0000 0.000000
六月 硬質(zhì)1 655.0000 0.000000 155.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 硬質(zhì)2 229.6296 0.000000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)3 0.000000 148.9714 0.000000 24.60000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)4 730.0000 0.000000 230.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質(zhì)5 0.000000 25.00000 20.00000 0.000000 500.0000 0.000000

模型的靈敏度分析

 現(xiàn)在我們對(duì)模型的靈敏度進(jìn)行分析，對(duì)問(wèn)題一的求解中我們得到了相關(guān)的靈敏度分析的數(shù)據(jù)，即為表中對(duì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響欄。從表中可以看出：
二月份的第三、四種，三月份第五種、四月份第三種、五月份第一、五種、六月份第一、二、四種原料油的購(gòu)買量對(duì)公司的總利潤(rùn)無(wú)影響，其他月份的其它類別的原料油購(gòu)買量的增加將會(huì)導(dǎo)致公司總利潤(rùn)減少，實(shí)際上就沒(méi)有購(gòu)買這些原料油。而這些無(wú)影響的原料油中除了二月份的第三種，四月份的第三種和五月份第五種原料油沒(méi)有購(gòu)買外，其他的原料油均購(gòu)買了。我們還可以發(fā)現(xiàn)購(gòu)買的時(shí)間在后兩個(gè)月，這可能是原來(lái)存儲(chǔ)的原料油在前幾個(gè)月內(nèi)夠用，在后兩個(gè)月買是為了減少存儲(chǔ)費(fèi)用。另外，我們發(fā)現(xiàn)單價(jià)低的原料油購(gòu)買的量就較多；
同樣可以看生產(chǎn)，庫(kù)存對(duì)總利潤(rùn)的影響，也均是將會(huì)導(dǎo)致公司總利潤(rùn)減少的不生產(chǎn)或不存儲(chǔ)；
下面我們?cè)倮�用�?duì)偶價(jià)格的理論對(duì)問(wèn)題一進(jìn)行分析（對(duì)偶價(jià)格見(jiàn)附錄1），從結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)第2—13行的值不為零，其值從94到133不等，這是約束條件“每個(gè)月最多可煉硬質(zhì)油200噸，軟質(zhì)油250噸”所引起的，即當(dāng)約束條件“每個(gè)月最多可煉植物油201噸，非植物油251噸”時(shí)，公司的總利潤(rùn)將增加110+105+100+94+89+115+110+105+100+98+133=1159元，如果約束條件增大10噸時(shí)，即每個(gè)月最多可煉植物油210噸或者非植物油260噸，則公司的總利潤(rùn)將增加1.159萬(wàn)元；硬度的變化對(duì)總利潤(rùn)的影響很微小;庫(kù)存量也應(yīng)要盡量減少。
 同樣的原理我們可以對(duì)問(wèn)題三進(jìn)行分析。從上面的分析得到下面的結(jié)論：從長(zhǎng)遠(yuǎn)的考慮，要從根本上增加公司的總利潤(rùn)，應(yīng)該擴(kuò)大公司的規(guī)摸，提高生產(chǎn)的能力。

參考文獻(xiàn)

運(yùn)籌學(xué)課本和課堂筆記